애파인 변환? 선형 변환과 이동을 하나의 행렬로 표현 참고자료: https://youtu.be/AheaTd_l5Is Homogeneous Coordinates 벡터: (x,y,z,0)

핵심: 회전도 선형 변환이다. 따라서 회전도 행렬로 표현할 수 있다. 어떤 포인트를 회전시키고 싶다면, 벡터 곱하기 행렬형태로 사용할 수 있다. 회전축에 대한 벡터의 회전 먼저 회전 축을 정해야 한다. 그 다음 몇도만큼 회전할지 정해야 한다. 컴퓨터 그래픽스에서는 3차원 회전에 가장 기본적으로 사원수(Quaternion)을 사용한다. || n x v || == || v ⊥ || 이렇게 길이가 같은데 왜 같을까? 크로스 프로덕트해서 나온 벡터의 길이는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같다. 사각형의 넓이는 밑변 x 높이 밑변은 w, 높이는 |v|sinθ 다. 따라서 || n x v || == || v ⊥ || 이다. 따라서 두 벡터가 원을 정의 할 수 있다. 그래서 그 원을 위와같이 한 평면으로 보면..

타우를 선형변환이라고 생각하면 된다. 선형 변환은 스케일링, 로테이션을 의미한다. 위의 두 가지 성질을 만족시키면 선형변환이라고 할 수 있다. 반대로 어떤것이 선형변환이다라고하면 위의 두 성질을 이용할 수 있다는 의미. 선형 변환이 아닌 경우 선형 변환의 예시 회전도 선형변환이다. 이동은 선형 변환일까? 선형변환만 가지고는 회전과 이동을 함께 다룰 수 없다. 추가적인 개념이 필요. 선형 변환의 행렬 표현 결국 선형변환을 벡터와 행렬형태의 곱셈으로 나타낼 수 있어서, 프로그래밍하기 쉽다라는 것을 말할려고 하는 것임. 스케일링 스케일링은 각 vertex들의 좌표에 곱셈을 하면 됨. 물론 스케일링의 역변환을 구하려면 역행렬을 구하면 나오긴 한다. 그러나 그냥 기하학적인 역변환을 구하는게 훨씬 쉽고 빠르다. 예시

회전 주의 Transpose를 하면 -Sin theta가 왼쪽 아래에 온다. 이동 1을 더 붙였다! -> 이동 됨. 0을 붙이면? -> 이동 안됨. 즉, 일반 벡터면 0 붙이고, point 좌표이면 1을 붙인다. (차원 추가) 이런 방식을 Homogeneous Coordinates (동차좌표계)라고 부른다. Homogeneous Coordinates (동차좌표계) 벡터/포인트의 회전과 이동을 하나의 행렬로 표현 가능하다! 엄청 편하다!

핵심 어떤 벡터를 이동, 회전, 스케일링 등등 Transformation 을 가하고 싶으면, 그 벡터에 행렬을 곱하면 된다. 행렬 표기법 row, column 행, 열 그림에서 행렬 B는 3x2 행렬 directX 에서는 u와 같은 row vector를 선호 Row Vector Column Vector 행렬 더하기 주의: 크기가 다른 행렬끼리는 더할 수 없다. 예) C+D=? 불가능 컴퓨터에게 연산을 시킬때, r(A+B)라고 계산을 시키는 쪽이 rA+rB 계산 시키는 쪽 보다 빠를것이다. r(A+B): 덧셈4번, 곱셈4번 rA+rB: 덧셈4번, 곱셈8번 같은 이유로 (r+s)A 가 rA + sA보다 더 빠름 행렬 곱하기 행렬끼리도 크기가 맞아야 한다. 예를들어 다음과 같은 AB의 곱셈은 불가. AB와 B..

벡터는 굵은 소문자, 행렬은 굵은 대문자 사용. 벡터 벡터는 방향과 크기 (direction and magnitude) 두 벡터의 방향과 길이가 같으면 같은 벡터 벡터는 위치 무관 변위(displacements) 시작점과 상관없이 미는 정도(u). 이동을 벡터를 사용해서 표현할 수 있다. 좌표계에서 벡터의 좌표 벡터를 좌표계에 표현가능 벡터의 표준 위치 벡터의 꼬리를 0,0(원점)에 놓으면 표준위치. 좌표계 왼손 좌표계 vs 오른손 좌표계 DirectX, Unreal Engine 등은 왼손좌표계를 사용. Opengl, Vulkan, 컴퓨터 비전 쪽 등은 오른손 좌표계 사용. 통일되지 않았음. 기본적인 벡터 연산 벡터의 길이 단위 벡터(unit vector) 내적 (Dot Product) Orthogona..